ESPACIOS MÉTRICOS 

Topología 

Profesorado en Matemática (Plan 1998) 

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. UNLPam 

Equipo docente:  

María Eva Ascheri, Profesor Adjunto, Exclusivo, Interino.  

Marisa Reid, Profesor Adjunto, Exclusivo, Interino.  

Laura Wagner, Jefe de Trabajos  Prácticos, Simple, Interino. 

Tabla de contenido 

TRABAJO PRÁCTICO N° 1: ESPACIOS MÉTRICOS ........................................................... 2 

Ejercicios propuestos ............................................................................................................. 2 

Referencias bibliográficas ...................................................................................................... 9 

Este trabajo se publica bajo licencia Creative Commons Reconocimiento – No comercial 4.0 

Internacional. 

                                                                                                                 Topología - 2018 

TRABAJO PRÁCTICO N° 1: ESPACIOS MÉTRICOS 

En  este  Trabajo  Práctico  se  ofrece  una  amplia  colección  de  ejercicios,  en  la  que  los  más complicados están marcados con el símbolo *. 

Se  espera  que  los  estudiantes  comprendan  el  concepto  de  distancia  y  la  estructura  de espacio  métrico;  y  que  resuelvan  los  ejercicios  propuestos  utilizando  los  conceptos desarrollados en las clases teóricas.  

Se abordarán actividades como la utilización de los conceptos básicos asociados a la noción de  espacio  métrico;  interpretación  de  definiciones;  reconocimiento,  utilización  y demostración  de  las  propiedades  sencillas  de  la  topología  métrica  con  el  propósito  de estimular el pensamiento crítico y reflexivo.  

Ejercicios propuestos 

1.  Para 𝑥⃗ =   (𝑥1, 𝑥2 ) , 𝑦⃗ = (𝑦1 , 𝑦2 ) ∈ ℝ2, definimos 

𝑑0 ( 𝑥 , 𝑦)   =  𝑚𝑖𝑛 { |𝑥1 − 𝑦1| , |𝑥2 − 𝑦2|} . 

¿Es 𝑑0 una métrica en ℝ2? 

2.  Sea  𝑓 ∶ 𝐸  → 𝐸   una  función  inyectiva.  Demuestre  que   d  x,  y   f  x   f  y  es  una distancia sobre  𝐸. 

3.  En cada uno de los siguientes ejercicios (𝐸, 𝑑) no es un espacio métrico. ¿Por qué? 

(a)  𝐸 =  ℝ, 𝑑(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)2 

(b) 𝐸  =  ℝ2 ,  𝑑(𝑥; 𝑦) = 𝑑((𝑥1, 𝑥2), (𝑦1, 𝑦2)) = (𝑥1 − 𝑦1)2 +  (𝑥2 − 𝑦2)2  

(c)  𝐸 =  ℝ2 ,  𝑑(𝑥; 𝑦) = 𝑑((𝑥1, 𝑥2), (𝑦1, 𝑦2)) = 𝑚𝑖𝑛 {|𝑥1 − 𝑦1|, |𝑥2 − 𝑦2|}  

(d) 𝐸 = { todas las funciones 𝑓 ∶   [0,1]   ⟶ [−4; 4]} ,  𝑑(𝑓, 𝑔) = |𝑓(1⁄2) − 𝑔(1⁄2)|  

2 

                                                                                                                 Topología - 2018 

4.  Si   E,  d es un espacio métrico y consideramos   x,  y,  x'   

e  y'  elementos cualesquiera de 

𝐸, pruebe que: 

d ( ,

x y)   d ( x',  y')   d  ,

x x'   d y,  y' 

5.  Sea  ( E,  d ) un espacio métrico. Sobre él se definen 𝑑′

′

1  y  𝑑2 del siguiente modo: 

𝑑′

mi 

n ,

1  d x,  y 

1(𝑥, 𝑦) =

   

d( x, y )

𝑑′2(𝑥, 𝑦) =

1   d( x, y )

Demuestre que 

'

d   y

'

d   son métricas sobre 𝐸. 

1

  2

6.  Consideremos el espacio  𝐸 = 𝐶ℝ[0,1] = {𝑓: [0,1] ⟶ ℝ, 𝑓 continua}.  Demuestre que si definimos:  

1

𝑑(𝑓, 𝑔) = ∫ |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)| 𝑑𝑥      para todo  𝑓, 𝑔 ∈ 𝐸 

0

y   

𝑑𝐴(𝑓, 𝑔) = sup𝑥∈[0,1]{|𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|}    para todo 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐸 

entonces 𝑑 y  𝑑𝐴 son métricas. Luego (𝐸, 𝑑 )  y  (𝐸, 𝑑𝐴 )son espacios métricos. 

7.  Sean  𝑥⃗,  𝑦⃗   puntos de   ℝ𝑛 y sea 

𝑛

1 2

⁄

𝑑2(𝑥⃗, 𝑦⃗) = [∑(𝑥𝑖 −  𝑦𝑖)2]

𝑖=1

Pruebe que (ℝ𝑛, 𝑑2)  es un espacio métrico. (𝑑2es llamada la métrica euclídea de ℝ𝑛 ). 

*8.  Sea   p  1;  (ℝ𝑛, 𝑑

𝑛

𝑝) donde 𝑑𝑝(𝑥

⃗, 𝑦⃗) = [∑

(𝑥

]1 𝑝

⁄

𝑖=1

𝑖 −   𝑦𝑖)𝑝

. Demuestre que (ℝ𝑛, 𝑑𝑝) es un 

espacio métrico. 

*9. Sea 𝑆(ℝ) = {𝑥 = (𝑥

∞

2

𝑛)𝑛∈ℕ: 𝑥𝑛 ∈ ℝ, ∑

𝑥

𝑛=1 𝑛 < ∞}. Si 𝑥 = (𝑥𝑛), 𝑦 = (𝑦𝑛) definimos:  

𝑑(𝑥, 𝑦) = [∑∞ (𝑥

𝑛=1

𝑛 −   𝑦𝑛)2]1 2

⁄  

3 

                                                                                                                 Topología - 2018 

Pruebe que (𝑆(ℝ), 𝑑) es un espacio métrico. 𝑆(ℝ) se llama  Espacio de Hilbert  y se lo suele notar por  𝑙2.  

10. Definición.  𝑑: 𝐸 × 𝐸 ⟶ ℝ se dice una  pseudométrica   si verifica: 1)  𝑑(𝑥, 𝑥) = 0 

2)  𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥) 

3)  𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦) 

Si 𝑑   es una pseudométrica sobre  𝐸   y 𝑥, 𝑦  ∈ 𝐸, definimos una relación binaria sobre 𝐸 por   

𝑥 ≈𝑑 𝑦 ⟺  𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 

Se pide:  

(a)  Pruebe  " ≈𝑑 " es una relación de equivalencia sobre 𝐸. 

(b) Dados 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤  ∈ 𝐸  tales que 𝑥 ≈𝑑 𝑦   y  𝑧 ≈𝑑 𝑤, demuestre que  𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑧, 𝑤) (c)  Sean  𝑥, 𝑦 ∈ (𝐸⁄≈𝑑) ( 𝑥 =  clase  de  𝑥 = {𝑧 ∈ 𝐸: 𝑧 ≈𝑑 𝑥 } ).  Dados  𝑎 ∈ 𝑥  y  𝑏 ∈ 𝑦  definimos 

𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑎, 𝑏). Pruebe que 𝑑 es una métrica en (𝐸⁄≈𝑑), que se llama  asociada a d.  

(d) Sea 𝑒(𝑥⃗, 𝑦⃗) = |𝑥1 − 𝑦1|  para  todo 𝑥⃗, 𝑦⃗ ∈ ℝ2;  𝑥⃗ = (𝑥1, 𝑥2), 𝑦⃗ = (𝑦1, 𝑦2). Pruebe  que   e  es 

,

una pseudométrica. ¿ (ℝ2, 𝑒) es un espacio métrico? Justifique la respuesta. 

11. Una  rotación  de  punto 𝒙  alrededor  del  origen  en  sentido  contrario  a  las  agujas  por  un ángulo 𝜃 denotado por:  

cos 𝜃

− sin 𝜃

𝑓(𝒙) = (

)  𝒙 

sin 𝜃

cos 𝜃

es una isometría sobre (ℝ2, 𝑑2). 

12. Demuestre que toda isometría 𝑓: (ℝ, | | ) → (ℝ, | |) cumple que 

𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑥  ó  𝑓(𝑥) = 𝑎 − 𝑥. 

13. Sea (𝐸, 𝑑) un E.M. y sean 𝑥, 𝑦  ∈ 𝐸, 𝐴 ⊆ 𝐸, 𝐴  ≠ ∅, pruebe que: d ( x,  A)   d (  y,  A)   d ( x,  y) 4 

                                                                                                                 Topología - 2018 

14. Sean   E,  d  un espacio métrico,  a  y  b  elementos de 𝐸,   r  y  s  números reales positivos. Si x   B( a,  r)   B( ,

b s) . Demuestre que existe una bola abierta   0  tal que  

B( x, )   B( a,  r)   B( ,

b s) . 

15. Dado el subconjunto de ℝ2 

𝐴  = {(𝑥, 𝑦)   ∈ ℝ2 ∶  𝑦  = 𝑥2}   = {(𝑥, 𝑥2) ∶  𝑥  ∈ ℝ } 

Calcule 𝑑1((2,0), 𝐴)   y   𝑑∞ ((2,0), 𝐴). 

16.  Dados el espacio métrico (ℝ2, 𝑑2) y los subconjuntos de ℝ2 

𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∶   𝑥2 + 𝑦2 = 1} y 𝐵 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∶  𝑥 + 𝑦 = 2}. 

Calcule 𝑑(𝐴, 𝐵). 

17. Consideremos 𝐸 = Cℝ[0, 2π] = {𝑓: [0, 2π] ⟶ ℝ, 𝑓 continua} con la métrica: dA(𝑓, 𝑔) = sup𝑥∈[0,2𝜋]{|𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|}    para todo 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐸 

y el conjunto 

𝐴  = {𝑠𝑒𝑛 𝑥  +  𝑘 ∶  0 ≤  𝑘  ≤  1} 

(a)  ¿Cuál es la distancia de la función 𝑓(𝑥)   = 𝑥2   +  2  al conjunto 𝐴? 

(b) Si 

𝐵  =   {𝑐𝑜𝑠 𝑥  +  𝑘 ∶  2  ≤ 𝑘  ≤  3} 

¿cuánto vale 𝑑(𝐴, 𝐵) ?  

18. Sea  (  E ,  d ) un E.M,   A,  B   E,  A 

,

  B   , entonces: 

(a)     A   B   (  A)   (  B)  

(b)   (  A   B)   ( )

A   ( B)   d ( ,

A B). 

     ¿Qué ocurre si   A   B   ? 

(c)     ( )

A  0   A  { }

a  

5 

                                                                                                                 Topología - 2018 

19. Sea  ( E ,  d ) un  E.M,  pruebe  que    𝐵(𝑥0, 𝑟) ;  𝐵𝑐(𝑥0, 𝑟) ;  𝐵𝑜𝑟(𝑥0, 𝑟) ;  son  conjuntos acotados. 

20. Sea 𝐸 =  ℝ,  para 𝑥, 𝑦  ∈ ℝ se  define 𝑑 (𝑥 , 𝑦)=   |𝑥| + |𝑥 − 𝑦| + |𝑦|.  Demuestre  que 𝑑 es una métrica sobre ℝ.  

Además demuestre que  la bola abierta centrada en 0 de radio 𝜀 con la métrica 𝑑 es igual al intervalo (−𝜀/2, 𝜀/2) (bola centrada en 0 con la métrica usual).  Analice cómo son las bolas abiertas centradas en cualquier elemento no nulo  𝑦 ∈ ℝ , con la métrica 𝑑.  

21. Sea el E.M. (ℝ, 𝑑𝑇)  y sean   A,  B  subconjuntos no vacíos de ℝ. 

(a)  Determine   d

. 

T  A,  B

(b)  Sean   A  



1

,

0

 y   B   ,

1 

4  subconjuntos de ℝ. Calcule la distancia de 𝐴 a 𝐵 usando: 

i)  la métrica usual, 

ii)  la métrica discreta. 

(c)  Sea   E, d   un E.M. y sean   A,  B  subconjuntos no vacíos de 𝐸. 

Demuestre que si   A   B   , entonces   d ,

A B  0. 

*21.  En el E.M. ( R n , d ), p > 1, pruebe que todo hipercubo   H  es acotado. 

p

22. Sean   A  y  B  conjuntos  acotados  en  un  E.M. ( E,  d ) .  Demuestre  que   A   B  es  un conjunto acotado.  

Deduzca que una unión finita de conjuntos acotados en 𝐸 es un conjunto acotado. 

23. Sea  (ℝ; | |) y sea 𝐴 = [0,1] ⊆  ℝ. Pruebe que 𝐴  es totalmente acotado. 

24. Es la unión de dos conjuntos totalmente acotados, ¿un conjunto totalmente acotado?  

6 

                                                                                                                 Topología - 2018 

25. Sea  (𝐸, 𝑑)  un  espacio  métrico  y  sean  𝐴 y 𝐵   subconjuntos  no  vacíos  de  𝐸  tales  que 

𝐴 ⊆ 𝐵 ⊆ 𝐸.  Si 𝐵 es totalmente acotado. Demuestre que 𝐴 es totalmente acotado. 

26. Pruebe que en un espacio métrico discreto, un conjunto  es totalmente acotado si y sólo si es finito.  

27. Con 𝟎 denotamos el origen en  ℝ𝑛, así 𝟎  =   (0;  0) en ℝ2,  y  𝟎  =   (0;  0;  0) en ℝ3. 

Represente  gráficamente  las  bolas   𝐵(𝟎;  1) y 𝐵𝐶(𝟎;  1)   para  cada  uno  de  los  siguientes espacios métricos (𝐸, 𝑑): 

(a)  𝐸  = ℝ2, 𝑑 (𝑥⃗, 𝑦⃗) =  𝑑2(𝑥⃗, 𝑦⃗) 

1

(b)  𝐸  = ℝ2, 𝑑 (𝑥⃗, 𝑦⃗) =    𝑑

3

𝑇(𝑥

⃗, 𝑦⃗) + 𝑑1(𝑥⃗, 𝑦⃗) 

(c)  𝐸 =  ℝ2 , 𝑑(𝑥⃗, 𝑦⃗) = 𝑑((𝑥

3

1, 𝑥2), (𝑦1, 𝑦2))  = √|𝑥1 − 𝑦1|3 + |𝑥2 − 𝑦2|3   

(d)  𝐸 =  ℝ3 , 𝑑 (𝑥⃗, 𝑦⃗) =𝑑2(𝑥⃗, 𝑦⃗) , (la métrica euclídea en ℝ3 ) 28.  Definición.   Sea (𝐸, 𝑑) un  espacio  métrico,  sea   𝐴 ⊆ 𝐸 y  sea 𝑥  ∈  𝐸.  Se  dice  que  un punto 𝑎  ∈  𝐴 es  “el punto más cercano de 𝐴  a 𝑥 ”  si 𝑑 (𝑥, 𝑎)   =  𝑑 (𝑥;  𝐴). 

(a)  Demuestre  que  si 𝑥  ∈  𝐴 entonces, 𝑥 es  el  punto  más  cercano  de 𝐴 a 𝑥, y  no  existen otros  puntos más cercanos a  𝐴 que  𝑥. 

7 

                                                                                                                 Topología - 2018 

(b) Demuestre  que  si  tomamos (𝐸, 𝑑)   =   (ℝ; | |) y   𝑥 ∈ ℝ ,  entonces  cada  conjunto 𝐴 ⊆ ℝ 

contiene  ninguno,  uno  o  dos  puntos  más  cercanos  a 𝑥.  Dé  ejemplos  para  mostrar  que cada una de estas posibilidades pueden ocurrir. 

29. Sea  (  E ,  d ) un E.M.,   r   R,  r  , 0  x   E. Pruebe que: 

0

(a)     B(  x ,  r)   B (  x ,  r) . 

0

C

0

(b)    B ( x ,  r)   B ( x ,  r) . 

or

0

C

0

(c)     B ( x ,  r)   B ( x ,  r)   B( x ,  r).  

or

0

C

0

0

(d)    B(  x ,  r)   B (  x ,  r)    

0

or

0

30. Sea   f :( E ,  d )  ( E ' ,  d ' )  una isometría. Demuestre: (a)   f 1  es una isometría. 

(b)   d  es discreta    d'  es discreta. 

(c)  i)  f (  B(  x ,  r))   B(  f (  x ),  r).  

0

0

ii)   f (  B (  x ,  r))   B (  f (  x ),  r).  

C

0

C

0

     iii)  f (  B (  x ,  r))   B (  f (  x ),  r).  

or

0

or

0

(d)  A  es acotado en   E   f (  A) es acotado en   E' . 

31. Pruebe que la aplicación 𝑓 ∶   ℝ2   ⟶ ℝ2 definida por 𝑓(𝑥1, 𝑥2) =   (𝑥1 + 𝑥2, 𝑥1 − 𝑥2 ) es una isometría de (ℝ2, 𝑑1) en (ℝ2, 𝑑∞). 

Sugerencia: Usar que si 𝑎 y 𝑏 son números reales, entonces se verifica: 1

1

| (𝑎 + 𝑏)| +   | (𝑎 − 𝑏)| = max{|𝑎|, |𝑏|} 

2

2

32. Dado un espacio métrico (𝑋, 𝑑) y dos puntos 𝑥, 𝑧 ∈ 𝑋 se define el conjunto igualdad de la desigualdad triangular 𝐸𝑑(𝑋, 𝑑) del siguiente modo: 

𝐸𝑑(𝑥, 𝑧) = {𝑦 ∈ 𝑋: 𝑑(𝑥, 𝑧) = 𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑑(𝑦, 𝑧)} 

Pruebe que si  𝑓 ∶ (𝑋, 𝑑)    ⟶ (𝑋, 𝑑′)  es una isometría, entonces  

8 

                                                                                                                 Topología - 2018 

𝐸𝑑′(𝑓(𝑥), 𝑓(𝑧)) = 𝐸𝑑(𝑥, 𝑧) 

Referencias bibliográficas  

  Apostol, T. (1979). Análisis Matemático. Barcelona: Ed. Reverté, S. A. 

  Ascheri, M. E. y Reid, M. (2008). Nociones Previas a la Topología Métrica. Santa Rosa (La Pampa): EdUNLPam. 

  Ascheri,  M.  E.  y  Reid,  M.  (2016).  Espacios  Métricos.  Santa  Rosa  (La  Pampa): EdUNLPam. 

  Kolmogorov,  A.  y  Fomin,  S.  (1975). Elementos  de  la  Teoría  de  Funciones  y  del Análisis Funcional. Moscú: Ed. Mir. 

  Kuratowski,  K.  (1973).  Introducción  a  la  Teoría  de  Conjuntos  y  a  la  Topología. 

Barcelona, España: Ed. Vicens – Vives. 

  Lima, E. L. (1977). Espaços Métricos. Río de Janeiro: Projeto Euclides, IMPA.  

  Lima,  E.  L. (1982).  Curso  de  Análise.  Volumen  1.  Río  de  Janeiro:  Projecto Euclides, IMPA. 

  Lipschutz, S. (1970). Topología General. México: Ed. Mc Graw – Hill. 

  Michavila, F. (1981). Espacios métricos. Espacios vectoriales normados. Madrid, España: Editorial AC. 

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